定积分的一些概念

随便整理下知识点罢了

仰望星空

1.1定义：分割，作近似和，取极限（Riemann积分）

例1证明狄利克莱函数在[0,1]上不可积

1.2可积的必要条件：函数有解

1.3几个等价条件：

(1)上下积分相等
(2)可以用面积和足够小的矩形块覆盖函数图像
(3)函数值差异比较大的点不要分布的太广

1.4一些结论：

(1)闭区间的连续函数必可积
(2)仅有有限个间断点的有界函数必可积
(3)闭区间上的单调函数必可积
(4)间断点对应的自变量值数列收敛的有界函数必可积

例：黎曼函数可积

1.5定积分的性质：线性性；可加性；乘积性；保号性；单调性；估值性；绝对性（类似三角不等式）

1.6Cauchy-Schwarz不等式：（感觉就是积分形式的柯西不等式，一个友好的推广罢了）

1.7积分第一中值定理

1.8变限积分