$$ { 解：由于区域D为\left| x \right|+\left| y \right|≥ \frac{\pi}{2}，为一个关于x轴和y轴对称的菱形：} \\ { 根据对称性有：\iint_{\mathrm{D}}{\tan xy^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0；\iint_{\mathrm{D}}{x^2y\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=0.} \\ { I_1=\iint_{\mathrm{D}}{\left( 2x^2+\tan xy^2 \right)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\iint_{\mathrm{D}}{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint_{\mathrm{D}}{\tan xy^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\iint_{\mathrm{D}}{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.} \\ { 因为积分区域D关于y=x对称，根据轮换对称性：2\iint_{\mathrm{D}}{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\iint_{\mathrm{D}}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y；} \\ { I_2=\iint_{\mathrm{D}}{\left( x^2y+2\tan y^2 \right)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{\mathrm{D}}{x^2y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+2\iint_{\mathrm{D}}{\tan y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\iint_{\mathrm{D}}{\tan y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.} \\ { I_3=\iint_{\mathrm{D}}{\left( \left| xy \right|+y^2 \right)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{\mathrm{D}}{\left| xy \right|}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint_{\mathrm{D}}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y；} \\ { 因此仅需比较\iint_{\mathrm{D}}{\left| xy \right|}\mathrm{d}x\mathrm{d}y与\iint_{\mathrm{D}}{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y的大小即可：} \\ { 由于四个区域对称，比较第一象限的大小即可：} \\ { \iint_{\mathrm{D}_1}{\left| xy \right|}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{\mathrm{D}_1}{xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y；} \\ { 因为积分区域D关于y=x对称，根据轮换对称性：\iint_{\mathrm{D}}{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{\mathrm{D}}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y；} \\ { \iint_{\mathrm{D}}{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\iint_{\mathrm{D}}{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\frac{1}{2}\iint_{\mathrm{D}}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\iint_{\mathrm{D}}{\left( x^2+y^2 \right)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y；} \\ { 其在第一象限为：\frac{1}{2}\iint_{\mathrm{D}_1}{\left( x^2+y^2 \right)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ { 于是：\iint_{\mathrm{D}_1}{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y-\iint_{\mathrm{D}_1}{xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\begin{array}{l} =\frac{1}{2}\iint_{\mathrm{D}_1}{\left( x^2+y^2 \right)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y-\frac{1}{2}\iint_{\mathrm{D}_1}{2xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ =\frac{1}{2}\iint_{\mathrm{D}_1}{\left( x^2-2xy+y^2 \right)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ =\frac{1}{2}\iint_{\mathrm{D}_1}{\left( x-y \right) ^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y>0.\\ \end{array}} \\ { 于是：\iint_{\mathrm{D}}{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{\mathrm{D}}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y>\iint_{\mathrm{D}}{\left| xy \right|}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.} \\ { 综上所述：I_1=2\iint_{\mathrm{D}}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y；I_2=2\iint_{\mathrm{D}}{\tan y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y；I_3=\iint_{\mathrm{D}}{\left| xy \right|}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint_{\mathrm{D}}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y；} \\ { \iint_{\mathrm{D}}{\left| xy \right|}\mathrm{d}x\mathrm{d}y<\iint_{\mathrm{D}}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y<\iint_{\mathrm{D}}{\tan y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y；}{ 于是：I_2>I_1>I_3.} \\ { 注：本质上有著名不等式：当x\in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 时：\sin x<x<\tan x.} \\ { 因此有：\iint_{\mathrm{D}}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y<\iint_{\mathrm{D}}{\tan y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.} \\ $$