$$ { 证明：因为f\left( x \right) 在\left[ 0,\frac{\pi}{2} \right] 上有二阶导数，由积分中值定理：} \\ { \int_0^{\frac{\pi}{2}}{f\left( x \right)}\mathrm{e}^{\sin x}\cos x\mathrm{d}x=f\left( \eta \right) \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{e}^{\sin x}\cos x\mathrm{d}x}=f\left( \eta \right) \left( \mathrm{e}-1 \right) =2\left( \mathrm{e}-1 \right) \Longrightarrow f\left( \eta \right) =2，其中\eta \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) ；} \\ { 在x\in \left[ 0,\eta \right] 上，有f\left( 0 \right) =f\left( \eta \right) =2，由罗尔定理可得：存在\xi _1\in \left( 0,\eta \right) ，使得：f\prime\left( \xi _1 \right) =0；} \\ { 在x\in \left[ \eta ,\frac{\pi}{2} \right] 上，由微分中值定理：f\left( \frac{\pi}{2} \right) -f\left( \eta \right) =f\prime\left( \xi _2 \right) \left( \frac{\pi}{2}-\eta \right) \Longrightarrow -1=f\prime\left( \xi _2 \right) \left( \frac{\pi}{2}-\eta \right) } \\ { \Longrightarrow f\prime\left( \xi _2 \right) =-\frac{1}{\frac{\pi}{2}-\eta}，由于\frac{\pi}{2}-\eta >0，因此f\prime\left( \xi _2 \right) <0；} \\ { 在x\in \left[ \xi _1,\xi _2 \right] 上，由微分中值定理：f\prime\left( \xi _2 \right) -f\prime\left( \xi _1 \right) =f''\left( \xi \right) \left( \xi _2-\xi _1 \right) ，其中\xi \in \left( \xi _1,\xi _2 \right) \subset \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) ；} \\ { f''\left( \xi \right) =\frac{f\prime\left( \xi _2 \right) -f\prime\left( \xi _1 \right)}{\xi _2-\xi _1}，由于\begin{cases} \xi _2>\xi _1\Longrightarrow \xi _2-\xi _1>0\\ f\prime\left( \xi _2 \right) <0,f\prime\left( \xi _1 \right) =0\Longrightarrow f\prime\left( \xi _2 \right) -f\prime\left( \xi _1 \right) <0\\ \end{cases}\Longrightarrowf''\left( \xi \right) <0；} \\ { 综上所述：存在\xi \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) ，使得f''\left( \xi \right) <0.} \\ { 注1：\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{e}^{\sin x}\cos x\mathrm{d}x}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{e}^{\sin x}\mathrm{d}\sin x}=\mathrm{e}^{\sin x}\mid_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\mathrm{e}^{\sin \frac{\pi}{2}}-\mathrm{e}^0=\mathrm{e}-1；} \\ { 注2：本题使用的是推广后的积分中值定理：\int_a^b{f\left( x \right)}\mathrm{d}x=f\left( \eta \right) \left( b-a \right) ，其中\eta \in \left( a,b \right) .} \\ $$