$$ 解法一：\\ 由于f\left( x \right) 递减，所以\left( x-y \right) \left[ f\left( x \right) -f\left( y \right) \right] \le 0 \\ \int_0^1{xf^2\left( x \right) \mathrm{d}x}\cdot \int_0^1{f\left( x \right) \mathrm{d}x}=\iint_D{xf^2\left( x \right) f\left( y \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ \int_0^1{f^2\left( x \right) \mathrm{d}x}\cdot \int_0^1{xf\left( x \right) \mathrm{d}x}=\iint_D{xf^2\left( y \right) f\left( x \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ 因此\int_0^1{xf^2\left( x \right) \mathrm{d}x}\cdot \int_0^1{f\left( x \right) \mathrm{d}x}-\int_0^1{f^2\left( x \right) \mathrm{d}x}\cdot \int_0^1{xf\left( x \right) \mathrm{d}x}=\iint_D{xf^2\left( x \right) f\left( y \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}-\iint_D{xf^2\left( y \right) f\left( x \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ =\iint_D{\left[ xf^2\left( x \right) f\left( y \right) -xf^2\left( y \right) f\left( x \right) \right] \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\iint_D{\left[ yf^2\left( y \right) f\left( x \right) -yf^2\left( x \right) f\left( y \right) \right] \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ =\frac{1}{2}\iint_D{\left[ xf^2\left( y \right) f\left( x \right) +yf^2\left( x \right) f\left( y \right) -xf^2\left( x \right) f\left( y \right) -yf^2\left( y \right) f\left( x \right) \right] \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ =\frac{1}{2}\iint_D{f\left( x \right) f\left( y \right) \left( y-x \right) \left( f\left( y \right) -f\left( x \right) \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ 因为f\left( x \right) 是正值，恒大于零，因此\iint_D{f\left( x \right) f\left( y \right) \left( y-x \right) \left( f\left( y \right) -f\left( x \right) \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}\le 0 \\ 即\int_0^1{xf^2\left( x \right) \mathrm{d}x}\cdot \int_0^1{f\left( x \right) \mathrm{d}x}-\int_0^1{f^2\left( x \right) \mathrm{d}x}\cdot \int_0^1{xf\left( x \right) \mathrm{d}x}\le 0 \\ 故\int_0^1{xf^2\left( x \right) \mathrm{d}x}\cdot \int_0^1{f\left( x \right) \mathrm{d}x}\le \int_0^1{f^2\left( x \right) \mathrm{d}x}\cdot \int_0^1{xf\left( x \right) \mathrm{d}x} \\ 证毕 $$ $$ 解法二：\\ 由切比雪夫不等式得： \\ \int_0^1{p\left( x \right) f\left( x \right) \mathrm{d}x}\int_0^1{p\left( x \right) g\left( x \right) \mathrm{d}x}\le \int_0^1{p\left( x \right) \mathrm{d}x}\int_0^1{p\left( x \right) f\left( x \right) g\left( x \right) \mathrm{d}x} \\ 其中p\left( x \right) =f\left( x \right) ，p\left( x \right) \ge 0，g\left( x \right) =x其与f\left( x \right) 单调性相反 \\ \int_0^1{f^2\left( x \right) \mathrm{d}x}\int_0^1{xf\left( x \right) \mathrm{d}x}\ge \int_0^1{f\left( x \right) \mathrm{d}x}\int_0^1{xf\left( x \right) f\left( x \right) \mathrm{d}x} \\ 即得到\int_0^1{f^2\left( x \right) \mathrm{d}x}\int_0^1{xf\left( x \right) \mathrm{d}x}\ge \int_0^1{f\left( x \right) \mathrm{d}x}\int_0^1{xf^2\left( x \right) \mathrm{d}x} \\ 两边同除以\int_0^1{f\left( x \right) \mathrm{d}x}\int_0^1{xf\left( x \right) \mathrm{d}x} \\ 得\frac{\int_0^1{f^2\left( x \right) \mathrm{d}x}}{\int_0^1{f\left( x \right) \mathrm{d}x}}\ge \frac{\int_0^1{xf^2\left( x \right) \mathrm{d}x}}{\int_0^1{xf\left( x \right) \mathrm{d}x}} \\ 证毕 $$